отрицательные числа в таблице брадиса

что следует понимать как

Итак, по Эйлеру, истинным объектом дифференциального исчисления является производная, то есть отношение исчезающе малого приращения функции к исчезающе малому приращению аргумента или, пользуясь современными обозначениями:

"Что такое дифференциальное исчисление?"- риторически вопрошает Эйлер и определяет его как "метод определения отношения исчезающих приращений, получаемых какими-либо функциями, когда переменному количеству, функциями которого они являются, дается исчезающее (то есть исчезающе малое, по современной терминологии бесконечно малое.- А. Я.) приращение".

"В анализе появляются также разрывные функции, что многим видным математикам представляется противоречивым,- писал он позднее в III томе своего "Интегрального исчисления" (1770).- Особенная сила интеграции, рассматриваемых в этой книге, в том и состоит, что при них могут встречаться и разрывные функции; благодаря этому новому (т. е. интегральному.- А. Я) исчислению границы анализа значительно расширяются".

Вместе с тем, Эйлер понимал, что существуют и "неаналитические" функции. Уже в статье "О колебаниях струны", написанной в 1748 г. и опубликованной в Берлине в 1850 г., он указывает, что кривая, рассматриваемая как изображение функции, может оказаться и более сложной, чем объединение нескольких (вообще - конечного числа)"дуг непрерывных линий. Таковыми, в частности, являются функции, получающиеся при интегрировании дифференциальных уравнений.

Эйлер рассмотрел разделение функции на однозначные и многозначные, выделил классы четных и нечетных функций. Вся его классификация вошла в употребление в математике и сохраняется по сей день.

"Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых". При всей витиеватости выражений XVIII в. это определение ничем, по существу, не отличается от классических определений, сформулированных в XIX в. Лобачевским и Лежен-Дирихле.

В предисловии к "Наставлению по дифференциальному исчислению" (1755) Эйлер дает новое определение функции:

Здесь параметр t, через который первоначально выражены х и у, можно рассматривать как угол, составленный вектором и осью абсцисс (рис. 6). При изменении этого угла от 0 до 2π точка М(х, у) будет описывать окружность радиуса r = а.

Совокупность равенств выражает ту же функцию, что и х2+у2 = а2, в чем можно убедиться, если возвести оба данных равенства в квадрат и сложить почленно:

Если задана функция y = 3х+8, то, решая уравнение относительно х, получим а потому функция является обратной по отношению к данной функции. Если дана функция y = sin х, то обратной будет функция x = arcsin y.

"Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного и чисел или постоянных количеств". Далее Эйлер различает функции явные и неявные. Скажем, функции - явная, а уравнение х2+у2 = а2 выражает неявную функцию, которая может быть определена (хотя и не во всех случаях) путем решения уравнения относительно у. Там же формулируется предложение о существовании обратной функции и функции, заданной параметрически.

В начале первого тома "Введения в анализ бесконечных", вышедшего в 1748 г. в Лозанне (Швейцария), Эйлер уточняет определение своего учителя:

Еще Иоганн Бернулли определил функцию как "количество, составленное любым способом из переменной величины и постоянных".

6. Математический анализ и специальные функции

Карта сайта   

Биографии   

Энциклопедия   

Библиотека   

6. Математический анализ и специальные функции [1983 Яковлев А.Я. - Леонард Эйлер]